标题：微积分的基本思想及其在经济问题中的应用

微积分的基本思想及其在经济问题中的应用
摘要：微积分是数学知识系统中重要的基础知识之一，它的基本思想在数学及经济领域都有重要应用。本文着重研究其在经济学中的相关应用。
关键词：微分；积分；基本思想；应用
The Basic Ideas of Calculus and Its Applications in Economic Issues

Abstract：Infinitesimal calculus is one of the important basic knowledge of mathematical,its basic ideas are widely used in mathematics and Economics.This paper focuses on the research of its applications in Economics.
Key words：differential ; integral ; basic ideas; application


目录
1微积分的产生及其发展............................................1

2微积分的基本思想................................................1

2.1微分学的基本思想..............................................1

2.2积分学的基本思想..............................................2
3微　……（快文网http://www.fanwy.cn省略1189字，正式会员可完整阅读）……　
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    取如下坐标轴，假设路程函数。求的变化率也即物体的运动速度一般分为以下两步
    图（1）(1)“局部求近似”：虽然物体在时段上作的是非匀速运动，但是在任取的微小时段上，我们将其近似的看成匀速运动。然后利用处理匀速问题的方法即得到近似值。
    (2)“极限求精确”：当时间间隔越来越小时，近似值的精确度便会越来越高，因此我们令，采用极限法便能将上面得到的近似值进一步转化成为精确值，即得到：
    。

    2.2积分学的基本思想
    积分学主要研究的是关于一元函数的定积分与不定积分，其中在定积分中蕴含的基本思想是通过有限来逼近无限。因此，极限方法就成为建立积分学理论的基本方法。现在我们来举这样一个例子——物理运动中物体运动所经过的路程：
    假设已知速度函数为，则求物体运动过程中所经过的路程也是两步骤：
    (1)“局部求近似”：已知只有在微小的局部内，用均匀量近似的代替非均匀量才能成立。所以要处理这一非匀速变化的整体量，首先需要将时间区间划分为若干个小时间区间；再在各个小时间区间内以“均”代“不均”，具体的实现需分为以下两步：
    ①“分割”：将区间划分成任意的份，考察在微小区间上的小时间段；②“求近似”：在上将物体的运动近似看成匀速运动，再利用处理相应均匀量的方法即可得到：
    。
    (2)“极限求精确”：因为所求的是一个整体量，所以先将所有局部上的近似值累加起来将其转化为精确值，故实现精确的思想也分为以下两步：
    ①“累加求和”：；②“求极限”：，其中可以看出，微分与积分虽然是属于两种不同范畴的概念，但是二者所研究的问题都是有关于“非均匀”变化量的。同时两者解决问题所采取的基本方法也几乎是一致的，均可以归纳为以下两个步骤：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。在整个微积分学体系中这一基本思想始终贯穿其中，并引领着我们运用微积分的有关思想和知识来解决应用领域的诸多问题。

    3.微分在经济学中的相关应用
    在经济建设的快速发展中，数学与经济学之间相互促进的作用越来越明显，二者之间的相互联系也越来越紧密。而微积分作为数学的一个重要分支，与经济学更是有着紧密联系。本文通过举例说明微积分知识在经济问题中的一些简单应用，希望使人们认识到微积分与经济学之间的重要联系。

    3.1边际分析在经济分析中的应用
    边际是经济学中的重要概念之一，通常将用导数来研究经济变量的边际的方法称之为边际分析。其中对于给定的经济函数如何来求其变化率的问题则是在经济学中最常见的边际问题，也即是将一个经济函数的导数称之为边际函数，将其在某一点的值称之为边际值。而边际分析法就是指对当自变量变动一个单位的时候，对应的因变量会变动多少的分析方法。例如，总利润函数关于销售量的导数我们将其称之为边际利润，它所蕴涵的经济意义是：当某商品销售量为时，再多销售一个单位该产品（即）时总利润的改变量为[2]；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其蕴涵的经济意义是：当某种商品的销售量为时，再多销售一个单位该商品（即）时总收益的变化量为[2]；边际成本是指总成本函数关于产量的导数，其经济含义是：当某种产品的产量为时，再多生产一个单位该产品（即）时总成本的变化量为。[2]例1.已知某小型玩具厂每个月生产某种玩具所需的总成本（元）为产量（件）的函数；求当生产100件该种玩具时的边际成本，并阐明其中蕴涵的经济意义。
    解：由题意可得，生产件该玩具时的边际成本函数为
    由此可得，生产100件该种玩具时的边际成本为（元）其中蕴涵的经济意义是：当生产100件该种玩具时，产量再额外增加一件（即）时成本增加9.5元。
    例2.某塑料厂生产的某种塑料，每天的总利润（单位：元）与产量（单位：吨）的函数关系为，试求每天生产10吨，20吨，25吨，35吨该种塑料时的边际利润，并说明其中蕴涵的经济意义。
    解：由题目条件得，总利润的变化率（边际利润）是，则每天生产10吨，20吨，25吨，35吨该种肥料时的边际利润分别是：




    蕴涵的经济意义：表示当每天生产10吨该种肥料时，产量再增加一吨的话，总利润将增加150元；表示当每天生产20吨该种肥料时，产量再增加一吨的话，总利润将增加50元；表示当每天生产25吨该种肥料时，产量再增加一吨的话，总利润保持不变；表示当每天生产35吨该种肥料时，产量再增加一吨的话，总利润将减少150元。

    3.2弹性在经济分析中的应用
    一般的，我们将函数在某一点处的相对变化率即称之为在点处的弹性，即近似地来表示当函数的自变量变化了1%时函数相应变化的百分数。而在经济学中主要有需求弹性和收益弹性，下面分别举例说明。
    ①需求弹性：商品的需求弹性是指商品需求量对商品价格的相对变化率，对于需求函数，当价格上涨时，函数则单调递减，因此异号，所以一般将需求对价格的弹性函数定义为。

    例3.已知某品牌护手霜的需求量与价格的关系为:；(1)求需求弹性；(2)如果在价格的基础上价格增加1%，求该护手霜需求量的变化情况。
    解：(1)由需求对价格的弹性函数可知，需求弹性为：


    (2)当该护手霜的价格=10（元）时，这说明在价格的基础上，如果价格增加了1%，则该种护手霜的需求量将减少13.9%；反之，若其价格减少1% ……（未完，全文共6422字，当前只显示3092字，请阅读下面提示信息。收藏微积分的基本思想及其在经济问题中的应用）

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